Sayı tabanı nedir

Günlük hayatta kullandığımız sayılar 10 farklı rakamla yazılır: 0'dan 9'a. Bu sisteme onluk taban ya da desimal sistem denir. Bir sayı tabanı, o sistemde kaç farklı sembol kullanıldığını belirtir. İkilik sistemde yalnızca 0 ve 1 vardır; sekizlikte 0'dan 7'ye kadar sekiz basamak; onaltılıkta 0'dan 9'a rakamlar ile A'dan F'ye altı harf kullanılır. A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 değerini taşır. 36 tabanına kadar alfabenin tüm harfleri bu amaçla kullanılabilir.

Konumsal gösterim

Her sayı sisteminde bir rakamın değeri, durduğu konuma bağlıdır. Onluk sistemde 345 yazdığınızda soldaki basamak yüzler, ortadaki onlar, sağdaki birler basamağını temsil eder:

3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰ = 300 + 40 + 5 = 345

Aynı kural tüm taban sistemleri için geçerlidir. Soldan sağa ilerledikçe üs azalır; en sağdaki basamak her zaman tabanın sıfırıncı kuvvetiyle, yani 1 ile çarpılır. Taban ve konum bu iki parametreyi belirlediğinde dönüşüm hesabı mekanik bir işleme dönüşür.

Onluktan başka bir tabana dönüşüm

Bir onluk sayıyı başka bir tabana çevirmek için art arda bölme yöntemi uygulanır. Sayıyı hedef tabana böler, kalanı kenara yazar ve bölümü bir sonraki adımda yeniden bölersiniz. Bölüm sıfıra indiğinde durursunuz. Kenardaki kalanları alttan yukarı okuduğunuzda sonuç ortaya çıkar.

2026'yı ikilik sisteme çevirelim:

Kalanları alttan yukarı okuyunca 11111101010 elde edilir. Aynı sayının sekizlik karşılığı 3752, onaltılık karşılığı 7EA'dır. Bölme ve kalan hesabı için mod hesaplama aracı kullanılabilir; tam bölünme gerçekleşmediğinde kalan değeri doğrudan oradan alabilirsiniz.

Başka bir tabandan onluğa dönüşüm

Ters yönde ilerlemek için her basamağı tabanın uygun kuvvetiyle çarpıp toplamak yeterlidir. Soldan başlarsınız; en soldaki basamağın üssü toplam basamak sayısının bir eksiğidir.

FF onaltılık sayısı için:

F × 16¹ + F × 16⁰ = 15 × 16 + 15 × 1 = 240 + 15 = 255

101101 ikilik sayısı için:

1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45

777 sekizlik sayısını onluğa çevirelim:

7×8² + 7×8¹ + 7×8⁰ = 448 + 56 + 7 = 511

Büyük kuvvet hesapları için üslü sayı hesaplayıcı hız kazandırır. Modüler işlemlere girmeniz gerekirse modüler aritmetik hesaplayıcı bu tür hesapları adım adım gösterir.

İkilik, sekizlik ve onaltılık arasında gruplama kısayolu

Taban değerleri 2'nin kuvveti olduğunda basamakları gruplayarak çok hızlı dönüştürmek mümkündür. 8 = 2³ olduğundan ikilikten sekizliğe geçerken sağdan başlayarak 3'erli gruplar oluşturursunuz. 16 = 2⁴ olduğundan onaltılığa geçerken 4'erli gruplar alırsınız. Bu işlemde onluğa geçmeye gerek yoktur.

156'nın ikilik karşılığı 10011100'dir. Gruplama yöntemiyle sekizliğe dönüşüm:

10 011 100 → 2, 3, 4 → 234₈

Aynı sayı için onaltılığa dönüşüm:

1001 1100 → 9, C → 9C₁₆

255 için ikilik karşılık 11111111'dir. Dört dörtlü grup FF onaltılık değerini doğrudan verir. Bu gruplama ilişkisi, bellek dökümlerini ve ikili verileri okurken günlük olarak işe yarar; her basamağı tek tek hesaplamak gerekmez.

Kesirli sayıların dönüşümü

Tam kısım art arda bölmeyle, kesir kısmı art arda çarpmayla dönüştürülür. Kesir kısmını hedef tabanla çarparsınız; çarpım sonucunun tam kısmı bir basamak olur, kalan kesri bir sonraki adımda yeniden çarparsınız. Yukarıdan aşağı okunan tam kısımlar sonucu verir.

0,625'i ikilik sisteme çevirelim:

Yukarıdan aşağı: 0,101₂. Kesir üç adımda sıfırlandığından sonuç sonludur. 10,375 gibi karışık bir sayı için tam kısım ve kesir kısmı ayrı ayrı işlenir; tam kısım 1010₂, kesir kısmı 011₂ olur ve birleşik sonuç 1010,011₂ çıkar.

Neden 0,1 onluk sistemde ikilikte sonlu değil

0,1 değerini ikilik sisteme çevirmeye çalıştığınızda işlem hiç bitmez. Çarpma adımları 0011 döngüsüne girerek sürekli tekrar eder; sonuç 0,0(0011)₂ biçiminde devirli bir kesir olur. Onaltılık sistemde de benzer bir durum vardır: 0,1 onluk değerinin onaltılık karşılığı 0,1(9)₁₆, yani 0,19999 diye sürüp giden biçimde devirlidir.

Bunun nedeni şudur: bir kesrin belirli bir tabanda sonlu gösterimi varsa, o kesrin paydasının asal çarpanları yalnızca hedef tabanın asal çarpanlarından oluşmalıdır. Onluk sistemde 10 = 2 × 5'tir; bu nedenle paydası 2 ve 5'in kuvvetlerinden oluşan kesirler onlukta sonlu biter. İkilik sistemde taban yalnızca 2'dir; dolayısıyla paydası yalnızca 2'nin kuvveti olan kesirler ikilik sistemde sonlu gösterim alır. 1/10'un paydası 5 içerdiğinden ikilikte devirlidir. Asal çarpan hesaplayıcı ile herhangi bir paydanın çarpanlarını kontrol edebilir, kesrin hedef tabanda sonlu mu devirli mi olacağını önceden anlayabilirsiniz.

Yazılımda kayan noktalı sayıların bazen beklenmedik yuvarlama hataları üretmesinin temelinde bu durum yatar. 0,1 + 0,2 toplamının bazı dillerde tam 0,3 vermemesi bu yüzdendir; her iki sayı da ikilikte sonlu biçimde temsil edilemez. Ondalık ve kesir dönüşümlerini karşılaştırmak için kesir ondalık çevirici kullanışlı bir başlangıç noktası sunar.

Onaltılık nerede kullanılır

Onaltılık sistem, bilgisayar mühendisliğinde ikilik sayıları kısa yazmak için tercih edilir. Sekiz bitlik bir baytı temsil etmek için ikilikle sekiz karakter gerekirken onaltılıkta yalnızca iki karakter yeterlidir. Bu sıkıştırma özelliği adresleri, hata kodlarını ve protokol verilerini okunaklı kılar.

Web tasarımında renk kodları onaltılıkla yazılır. #FF8800 biçimindeki renk kodunun ilk iki basamağı kırmızı kanalı, sonraki iki basamak yeşil kanalı, son iki basamak mavi kanalı taşır; her çift 0'dan 255'e kadar bir değer ifade eder. 4095'in onaltılıkta FFF, 65535'in FFFF olması, büyük ikinin kuvvetleri için onaltılığın ne kadar kısa bir gösterim sağladığını gösterir.

Programlama dillerinde onaltılık sabitler genellikle 0x ön ekiyle yazılır: 0xFF, 0x7EA gibi. Bellek adreslerini gösteren hata iletilerinde ve çekirdek dökümlerinde bu biçimi görmek olağandır.

36 tabanı ve kısa kodlar

Taban 36, 0-9 rakamlarını ve A-Z harflerini birleştirir; bu 36 farklı sembol büyük sayıları çok daha kısa ifade etmeye olanak verir. URL kısaltma servisleri, sipariş numaraları ve seri kodları bu nedenle 36 tabanına yakın sistemler kullanır. 2026'nın 36 tabanlı karşılığı 1KA'dır; üç karakterle ifade edilebilen bu değer onluk sistemde dört karakter ister.

Logaritma hesaplarıyla taban değiştirme arasında da doğrudan bir ilişki vardır. Bir sayının belirli bir tabandaki basamak sayısını kestirmek için logaritma hesaplayıcı kullanılabilir; taban n'in logaritması alındığında basamak sayısı tam sayı kısmından 1 fazladır.

Araç nasıl kullanılır

Kaynak taban ve hedef taban alanlarına 2 ile 36 arasında istediğiniz değeri girebilirsiniz. Sayıyı kaynak taban kutusuna yazarsınız; 10'dan büyük basamaklar için A-Z harfleri kabul edilir, küçük harf de girilebilir.

Kesirli sayılar için virgül ya da nokta kullanılabilir. Negatif sayılar başa eksi işareti konularak girilebilir. Kesir hassasiyeti varsayılan olarak 20 basamak gösterir; 60 basamağa kadar artırılabilir. Devirli bir sonuç elde edildiğinde araç tekrar eden kısmı ayrıca belirtir ve sonucun yaklaşık olduğunu yazar. Büyük tam sayılar için BigInt hesabı uygulandığından basamak sayısında pratik bir sınır yoktur.

Sonuçla birlikte aynı sayının ikilik, sekizlik, onluk ve onaltılık karşılıkları dört ayrı kutuda gösterilir; her kutunun yanında kopyala düğmesi bulunur. Kaynak taban ile hedef tabanı değiştiren bir buton da mevcuttur; bir yönde dönüştürdükten sonra tersini kontrol etmek bu şekilde kolaylaşır.

Araç ayrıca her dönüşüm için üç ayrı adım tablosu sunar: kaynak tabandaki sayının onluk değerini gösteren basamak çarpımları tablosu, tam kısım için art arda bölme tablosu ve kesir kısmı için art arda çarpma tablosu. Bu tablolar sınav ya da ödev hazırlığında adım adım takip için kullanışlıdır.

Yalnızca ikilik dönüşümlere odaklanmak istiyorsanız ikilik çevirici daha sade bir arayüz sunar. Daha fazla matematik aracına ulaşmak için matematik hesaplama araçları sayfasına bakabilirsiniz.