Mod Hesaplama
Bölme işleminde kalanı anında hesaplayın. a mod b işlemi için online hesaplayıcı.
Mod Nedir?
Mod (modülo veya modül), matematikte bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan değeri ifade eder. a mod b notasyonu, "a sayısının b'ye bölümünden kalan" anlamına gelir. Bu kavram, sayı teorisinin temellerinden biridir ve günlük yaşamdan programlamaya kadar pek çok alanda kullanılır.
Örneğin, 17'yi 5'e böldüğümüzde, bölüm 3 ve kalan 2 olur. Matematiksel olarak: 17 = 5 × 3 + 2. Bu durumda 17 mod 5 = 2'dir.
Mod Nasıl Hesaplanır?
Adım Adım Hesaplama
- Bölme işlemini yap: a sayısını b'ye böl
- Tam sayı kısmını bul: Sonucun tam sayı kısmını al (ondalık kısmı at)
- Çarpma yap: Tam sayıyı b ile çarp
- Çıkarma yap: a'dan bu sonucu çıkar - kalan mod değeridir
Örnek: 23 mod 7
Mod İşleminin Özellikleri
| Özellik | Açıklama | Örnek |
|---|---|---|
| a mod a = 0 | Bir sayının kendisine modu sıfırdır | 5 mod 5 = 0 |
| a mod 1 = 0 | 1'e bölümden kalan her zaman 0 | 7 mod 1 = 0 |
| 0 mod b = 0 | 0'ın herhangi bir sayıya modu 0 | 0 mod 5 = 0 |
| a mod b (a<b) = a | Küçük sayının modu kendisidir | 3 mod 7 = 3 |
| (a+b) mod b = a mod b | Toplama özelliği | 12 mod 5 = 7 mod 5 = 2 |
Mod İşleminin Kullanım Alanları
1. Programlama
Programlamada mod operatörü (%) çok yaygın kullanılır:
- Tek/Çift kontrolü: sayı % 2 == 0 ise çift, değilse tek
- Döngüsel indeks: Dizi elemanlarını döngüsel erişim
- Hash fonksiyonları: Verileri belirli aralığa sıkıştırma
2. Kriptografi
RSA şifreleme algoritması gibi kriptografik sistemlerin temelinde modüler aritmetik bulunur. Asal sayı bulucu aracımız kriptografi çalışmalarınızda yardımcı olabilir.
3. Takvim Hesaplamaları
Haftanın gününü bulmak için mod 7, yılın ayını bulmak için mod 12 kullanılır. Gün hesaplama ve tarih hesaplama araçlarımızda bu prensipler kullanılır.
4. Bölünebilme Kuralları
Bir sayının başka bir sayıya bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için mod kullanılır. a mod b = 0 ise a, b'ye tam bölünür.
Programlama Dillerinde Mod
| Dil | Operatör | Örnek |
|---|---|---|
| JavaScript | % | 17 % 5 = 2 |
| Python | % | 17 % 5 = 2 |
| C/C++ | % | 17 % 5 = 2 |
| Java | % | 17 % 5 = 2 |
| Excel | MOD() | =MOD(17,5) = 2 |
Negatif Sayılarda Mod
Negatif sayılarda mod işlemi dikkatli ele alınmalıdır. Matematiksel tanımda sonuç her zaman pozitiftir, ancak programlama dillerinde farklılıklar olabilir:
JavaScript: -2 (işaret korunur)
Diğer matematik araçlarımız: Faktöriyel hesaplama, karekök hesaplama, üslü sayı hesaplama ve yüzde hesaplama.
Sıkça Sorulan Sorular
Mod (modülo), bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan değerdir. a mod b şeklinde ifade edilir. Örneğin 17 mod 5 = 2, çünkü 17'yi 5'e böldüğümüzde 3 tam bölüm ve 2 kalan elde ederiz.
Mod hesaplama formülü: a mod b = a - (b × ⌊a/b⌋) şeklindedir. Burada ⌊a/b⌋ bölümün tam sayı kısmını ifade eder. Örneğin: 17 mod 5 = 17 - (5 × 3) = 17 - 15 = 2
Mod işlemi programlamada döngüsel yapılar, kriptografi, hash fonksiyonları, takvim hesaplamaları ve sayı teorisinde kullanılır. Örneğin bir sayının tek/çift olduğunu kontrol etmek için sayı mod 2 kullanılır.
Negatif sayılarda mod işlemi programlama diline göre farklılık gösterebilir. Matematiksel tanımda sonuç her zaman 0 ile b-1 arasındadır. JavaScript'te negatif a için sonuç negatif olabilir.
Herhangi bir sayının kendisine bölümünden kalan 0'dır. Yani a mod a = 0. Örneğin 5 mod 5 = 0, 100 mod 100 = 0.
0'ın herhangi bir sayıya (b ≠ 0) bölümünden kalan 0'dır. Yani 0 mod b = 0. Örneğin 0 mod 7 = 0.
Herhangi bir tam sayının 1'e bölümünden kalan her zaman 0'dır. Yani a mod 1 = 0. Her tam sayı 1'e tam bölünür.
Pozitif sayılar için mod ve kalan aynıdır. Ancak negatif sayılarda farklılık olabilir. Matematiksel mod her zaman pozitif sonuç verirken, programlamadaki kalan operatörü (%) negatif sonuç verebilir.