Faktöriyel Hesaplama
n! (n faktöriyel) değerini anında hesaplayın. 0'dan 170'e kadar tüm faktöriyel değerlerini öğrenin.
Faktöriyel Nedir?
Faktöriyel, matematikte en temel ve önemli kavramlardan biridir. Bir pozitif tam sayının faktöriyeli, 1'den o sayıya kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımı olarak tanımlanır. Matematiksel gösterimi n! şeklindedir ve "n faktöriyel" olarak okunur.
Faktöriyel kavramı, 18. yüzyılda Fransız matematikçi Christian Kramp tarafından "!" simgesiyle gösterilmeye başlanmıştır. Bu basit görünen kavram, kombinatorik, olasılık teorisi, matematiksel analiz ve birçok bilim dalında kritik öneme sahiptir.
Faktöriyel Nasıl Hesaplanır?
Temel Hesaplama Yöntemi
Faktöriyel hesaplamak için, verilen sayıdan başlayarak 1'e kadar tüm sayıları çarpmanız yeterlidir. Örneğin 6 faktöriyel hesaplamak için:
Rekürsif (Özyinelemeli) Yöntem
Faktöriyel, rekürsif olarak da tanımlanabilir. Bu yöntem, programlamada sıklıkla kullanılır:
Bu tanıma göre, herhangi bir sayının faktöriyeli, o sayının bir eksiğinin faktöriyeli ile çarpımına eşittir. Temel durum olarak 0! = 1 kabul edilir.
Önemli Faktöriyel Değerleri
Aşağıdaki tabloda sık kullanılan faktöriyel değerlerini bulabilirsiniz. Bu değerler kombinasyon hesaplama ve permütasyon hesaplama işlemlerinde sıklıkla kullanılır:
| n | n! | Açıklama |
|---|---|---|
| 0! | 1 | Tanım gereği |
| 1! | 1 | 1 |
| 2! | 2 | 2 × 1 |
| 3! | 6 | 3 × 2 × 1 |
| 4! | 24 | 4 × 3 × 2 × 1 |
| 5! | 120 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 |
| 6! | 720 | 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 |
| 7! | 5.040 | 7 × 6! |
| 8! | 40.320 | 8 × 7! |
| 9! | 362.880 | 9 × 8! |
| 10! | 3.628.800 | 10 × 9! |
Faktöriyelin Kullanım Alanları
1. Permütasyon Hesaplama
n elemanlı bir kümenin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulmak için faktöriyel kullanılır. Örneğin 5 kitabı bir rafa kaç farklı şekilde dizebilirsiniz? Cevap: 5! = 120 farklı şekilde. Yüzde hesaplama aracımızla oranları da kolayca hesaplayabilirsiniz.
2. Kombinasyon Hesaplama
n elemandan r tanesini seçmenin kaç farklı yolu olduğunu hesaplamak için faktöriyel kullanılır:
3. Olasılık Teorisi
Olasılık hesaplamalarında, özellikle binom dağılımı ve hipergeometrik dağılım gibi kesikli olasılık dağılımlarında faktöriyel temel bir rol oynar.
4. Taylor Serileri
Matematiksel analizde, fonksiyonların Taylor serisi açılımlarında faktöriyel kullanılır. Örneğin e^x fonksiyonunun Taylor serisi:
0 Faktöriyel Neden 1'dir?
0! = 1 olması başta garip görünebilir, ancak bu tanımın önemli matematiksel gerekçeleri vardır:
- Boş küme argümanı: Boş bir kümenin elemanlarını sıralamanın tek bir yolu vardır - hiçbir şey yapmamak.
- Rekürsif tutarlılık: n! = n × (n-1)! formülünde n=1 için: 1! = 1 × 0! olmalı, yani 1 = 1 × 0! → 0! = 1
- Kombinatorik tutarlılık: C(n,0) = 1 ve C(n,n) = 1 olması için 0! = 1 olmalıdır.
- Gamma fonksiyonu: Γ(1) = 0! = 1 olarak tanımlanır.
Büyük Faktöriyellerin Özellikleri
Faktöriyel fonksiyonu çok hızlı büyür. Bazı ilginç özellikler:
- 20! yaklaşık 2.4 × 10^18 = 2.4 kentilyon
- 50! yaklaşık 3 × 10^64 (evrendeki atom sayısından fazla!)
- 100! yaklaşık 9.3 × 10^157 (158 basamaklı bir sayı)
- 170! JavaScript'te hesaplanabilen en büyük faktöriyel
Stirling Yaklaşımı
Büyük n değerleri için faktöriyel yaklaşık olarak şu formülle hesaplanabilir:
Faktöriyel ile İlgili Diğer Kavramlar
Çift Faktöriyel (n!!)
n'den başlayarak 2'şer azalarak 1 veya 2'ye kadar olan sayıların çarpımı. Örnek: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
Subfaktöriyel (!n)
n elemanlı bir kümenin hiçbir elemanın kendi yerinde olmadığı permütasyon sayısı (düzensiz permütasyon).
Gamma Fonksiyonu
Faktöriyelin gerçek ve karmaşık sayılara genelleştirilmesi: Γ(n+1) = n! (pozitif tam sayılar için)
Matematik hesaplamalarınızda karekök hesaplama, üslü sayı hesaplama ve logaritma hesaplama araçlarımızı da kullanabilirsiniz.
Sıkça Sorulan Sorular
Faktöriyel, 1'den n'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. n! şeklinde gösterilir. Örneğin 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120'dir. Matematiksel işlemlerde, özellikle kombinatorik ve olasılık hesaplamalarında sıklıkla kullanılır.
0 faktöriyel (0!) 1'e eşittir. Bu matematiksel bir konvansiyondur ve kombinatorik hesaplamalarında tutarlılık sağlar. Boş bir kümenin elemanlarını sıralamanın tek bir yolu vardır - hiçbir şey yapmamak - bu nedenle 0! = 1 olarak kabul edilir.
Faktöriyel, permütasyon ve kombinasyon hesaplamalarında, olasılık teorisinde, Taylor serileri ve matematiksel analizde sıklıkla kullanılır. Örneğin n kişinin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulmak için n! hesaplanır.
JavaScript ile 170! = yaklaşık 7.257 × 10^306 hesaplanabilir. 171! ise Infinity değerini döndürür çünkü sonuç IEEE 754 double precision sınırını aşar. Daha büyük değerler için özel kütüphaneler veya arbitrary precision aritmetiği gerekir.
Negatif tam sayıların faktöriyeli tanımlı değildir. Ancak Gamma fonksiyonu Γ(n) ile negatif sayılar için genelleştirme yapılabilir. Gamma fonksiyonu, faktöriyelin gerçek ve karmaşık sayılara genelleştirilmiş halidir.
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 şeklinde hesaplanır. Rekürsif olarak: n! = n × (n-1)! ifade edilir. Ayrıca 0! = 1 olarak tanımlanır. Bu formül kombinatorik, olasılık ve istatistik hesaplamalarının temelidir.
100! yaklaşık 9.33 × 10^157 değerine eşittir. Bu sayının tam yazılımı 158 basamak içerir. Bu sayı, evrendeki tahmini atom sayısından (yaklaşık 10^80) çok daha büyüktür!
Büyük sayılar için Stirling yaklaşımı kullanılır: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Bilgisayarlarda iteratif veya memoization yöntemleri ile verimli hesaplama yapılır. Lookup tabloları da küçük değerler için hızlı erişim sağlar.