Aracın EBOB ve EKOK'u nasıl bulduğu

Araca 2 ile 6 arasında pozitif tam sayı girebilirsiniz. Ondalıklı bir sayı yazarsanız yalnız tam kısmı alınır, sıfır ve eksi değerler yok sayılır. Sonuç ekranında her sayının asal çarpanlarına ayrılışı ve dört adımlık bir çözüm gösterilir, ancak EBOB hesabı arka planda asal çarpanlarla yapılmaz. Araç Öklid algoritmasını kullanır.

Öklid algoritmasında iki sayıdan büyüğü küçüğe bölersiniz, kalanı alırsınız ve kalan sıfır olana kadar (a, b) çiftini (b, a mod b) ile değiştirirsiniz. Son sıfır olmayan bölen EBOB'dur. EKOK ise iki sayı için a × b / EBOB(a, b) formülüyle bulunur. İkiden fazla sayıda araç soldan sağa ikişer ikişer ilerler: önce ilk iki sayının EBOB'unu alır, bulduğu değerle üçüncü sayının EBOB'unu hesaplar ve böyle sürer. EKOK için de aynı yol izlenir.

Öklid algoritması neden çalışır

İki sayının ortak böleni, aralarındaki farkı da böler. Bu yüzden büyük sayıyı küçüğe bölüp kalana geçmek, ortak bölenleri değiştirmeden sayıları küçültür. Adımlar ilerledikçe sayılar hızla küçülür ve kalan sonunda sıfıra ulaşır. Asal çarpanlara ayırma ise büyük sayılarda çarpan aramak zorunda olduğu için çok daha fazla işlem ister. Bu fark 6 ya da 7 basamaklı sayılarda belirgin hale gelir.

Örnek olarak 1071 ve 462 sayılarını alalım. 1071 = 2 × 462 + 147, sonra 462 = 3 × 147 + 21, sonra 147 = 7 × 21 + 0. Kalan sıfır olduğuna göre EBOB 21'dir. EKOK ise 1071 × 462 / 21 = 23.562 olarak bulunur.

Problemde EBOB mu EKOK mu gerekir

Metin problemlerinde en çok zorlanılan şey hangisini kullanacağınızı seçmektir. Birkaç ipucu yol gösterir. "En büyük parça", "eşit gruplara bölme", "kesmeden döşeme", "en az sayıda kutu" gibi ifadeler EBOB'a işaret eder. "Yeniden aynı anda", "ortak zaman", "ortak payda", "ilk kez birlikte" gibi ifadeler ise EKOK'u çağırır. Kısaca sayıları bölüyorsanız EBOB, bir ortak katı arıyorsanız EKOK devreye girer.

Örnek hesaplar

Fayans problemi

Zemini 360 cm × 240 cm olan bir alana, hiçbirini kesmeden en büyük kare fayansları döşemek istiyorsunuz. Karenin kenarı hem 360'ı hem 240'ı tam bölmelidir, yani ortak bölen olmalı. En büyüğü için EBOB(360, 240) = 120 cm bulunur. Boyuna 360/120 = 3, enine 240/120 = 2 fayans sığar, toplam 3 × 2 = 6 adet gerekir.

Zamanlama problemi

Bir otobüs 12, diğeri 18 dakikada bir kalkıyor ve ikisi aynı anda yola çıkmış olsun. Yeniden birlikte kalkmaları için bulunması gereken sayı EKOK(12, 18) = 36'dır. Yani 36 dakika sonra yeniden aynı anda kalkarlar.

Üç sayı

48, 60 ve 72 sayılarında araç EBOB'u 12, EKOK'u 720 bulur. EKOK'a giden yol şöyledir: önce EKOK(48, 60) = 240 bulunur, sonra EKOK(240, 72) = 720 çıkar.

Kesir sadeleştirme

84/126 kesrini sadeleştirmek için pay ve paydanın EBOB'unu bulursunuz: EBOB(84, 126) = 42. Her ikisini 42'ye bölünce kesir 2/3 olur. Toplama ve çıkarmada paydaları eşitlemek için EKOK kullanılır; 1/84 + 1/126 toplamında ortak payda EKOK(84, 126) = 252'dir. Kesirlerle daha fazla işlem yapmak için kesir hesaplama sayfasına bakabilirsiniz.

Araçla elle hesabı birlikte kullanmak

Araç sonucu verir, ama sınavda ya da ödevde adımları yazmanız gerekebilir. Bu durumda araçtaki asal çarpan dökümünü çözümü kontrol etmek için kullanın. Örneğin 48 = 2⁴ × 3 ve 60 = 2² × 3 × 5 olarak ayrılır. EBOB ortak asal çarpanların en küçük üslerinden oluşur: 2² × 3 = 12. EKOK ise tüm asal çarpanların en büyük üslerinden kurulur: 2⁴ × 3 × 5 = 240. Aracın EKOK(48, 60) = 240 sonucuyla aynıdır. İki yöntemin aynı cevabı vermesi, hesabı iki kez doğrulamış olmanızı sağlar.

Aralarında asal sayılarda EKOK

İki sayının EBOB'u 1 ise bu sayılara aralarında asal denir. Böyle sayılarda EKOK, sayıların çarpımına eşittir. Örneğin 8 ve 15'in EBOB'u 1, EKOK'u 120'dir ve 8 × 15 de 120 eder. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez; 8 ve 15 asal değildir ama aralarında asaldır. Bir sayının asal olup olmadığını denemek için asal sayı hesaplama aracı kullanılabilir, çarpanlarını görmek için de asal çarpan hesaplama işe yarar.

EBOB × EKOK = çarpım kuralının sınırı

İki sayıda EBOB ile EKOK'un çarpımı sayıların çarpımına eşittir ve araç iki sayı girildiğinde bu doğrulamayı gösterir. Kural üç ya da daha fazla sayıda geçerli değildir. Bunu 2, 4 ve 8 ile görebilirsiniz: EBOB 2, EKOK 8 olur ve çarpımları 16 eder. Üç sayının çarpımı ise 64'tür. Çok sayıda girdide bu kurala güvenip sonucu denemeyin, EKOK'u soldan sağa ikişer ikişer hesaplama yoluyla bulun.

Sınırlamalar

Araç en çok 6 pozitif tam sayıyla çalışır. JavaScript sayıları 9.007.199.254.740.991 değerinden (2^53 − 1) büyük tam sayılarda hassasiyet kaybeder. Çok büyük sayıların EKOK'unda çarpım bu sınırı aşabilir ve son basamaklar güvenilmez olabilir. Bu durumda sonucu farklı bir yöntemle ya da elle kontrol etmek gerekir. Oran sadeleştirmesi için sonucu oran orantı hesaplama sayfasındaki mantıkla birlikte kullanabilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular